درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم هنرستان
پودمان 2- درصد و کاربردهای آن
1-2- محاسبه ذهنی درصد
هميشه از دبیران رياضی میشنيدم كه میگفتند: «رياضی در زندگی روزمره كاربرد دارد»، ولی هیچ وقت به اندازهٔ ديروز درستی اين گفته را احساس نكرده بودم. برای خريد وسايل مورد نياز مدرسه با مادرم به یک مركز خريد رفته بودم. فروشگاهی اجناس خود را با درصدهای مختلف تخفيف، میفروخت. برخی از اجناس با % 10، برخی با % 25 و برخی با % 50 تخفيف به فروش میرسیدند. در صف صندوق پرداخت، نفر جلويی ما که سه جفت جوراب برداشته بود، گفت كه قيمتهای حراج خیلی مناسب است؛ هر جفت جوراب قبل از تخفیف 5,000 تومان بوده اما با % 20 تخفيف، سه جفت جوراب فقط 6000 تومان شده است. از او پرسيدم چگونه حساب كرده است. گفت: سه تا 5,000 تومان، 15000 تومان. سه تا % 20 هم % 60 تخفيف. پس بايد % 40 بپردازم. % 40 از 15000 تومان هم میشود 6,000 تومان.
من هم که یک پيراهن با قيمت اوليهٔ 30,000 تومان و % 50 تخفيف، و یک شلوار با قيمت اولیهٔ 50,000 تومان و % 10 تخفيف برداشته بودم، با روشي كه او گفته بود شروع به محاسبه كردم. كل خريدم 80,000 تومان بود و با در نظر گرفتن % 60 تخفيف، با محاسباتی كه انجام دادم، بايد 32000 تومان میپرداختم. نوبت به نفر جلويی من رسيد. صندوقدار گفت: 000 ,12 تومان. او با لحنی اعتراضآمیز گفت: «اشتباه است! من بايد 6,000 تومان بدهم». بعد هم روش محاسبهٔ خود را برای صندوقدار توضیح داد. صندوقدار هم با تعجب گفت: پس اگر دو جفت جوراب ديگر هم بردارید، لابد همهٔ جورابها مجانی میشوند! نفر جلوی من گفت: جدی؟!
نفر جلویی من هنوز متوجه مسئله نشده بود؛ اما من در یک لحظه فهمیدم که هر دو ما چه اشتباهی کردهیایم!
درصد از مفاهيمی است كه در زندگی روزمره كاربردهای بسياری دارد. اشتباهی كه در وضعيت داستان صفحهٔ قبل رخ داده بود، از اشتباهاتی است كه برای برخی افراد ممکن است پیش بیاید. با انجام دادن فعالیت زیر، با مفهوم درصد بیشتر آشنا میشوید.
فعاليت 1 (صفحه 49 کتاب درسی)
هنرجویان هنرستانی در یک کار فوق برنامه مشارکت داشتهاند. 10 درصد از کلاس اول، 20 درصد از هنرجویان کلاس دوم و 30 درصد از هنرجویان کلاس سوم در این کار شرکت کردهاند. تعداد هنرجویان کلاس اول 30 نفر، کلاس دوم 25 نفر و کلاس سوم 40 نفر است.
الف) از هر کلاس چند نفر در کار فوقبرنامه شرکت داشتهاند؟
3 نفر از کلاس اول در کار فوقبرنامه شرکت داشتهاند. $\frac{10}{100}=\frac{x}{30}\Rightarrow x=\frac{10\times 30}{100}=\frac{300}{100}=3\to $ = کلاس اول
5 نفر از کلاس دوم شرکت داشتهاند. $\frac{20}{100}=\frac{x}{25}\Rightarrow x=\frac{20\times 25}{100}=\frac{500}{100}=5\to $ = کلاس دوم
12 نفر از کلاس سوم شرکت داشتهاند. $\frac{30}{100}=\frac{x}{40}\Rightarrow x=\frac{30\times 40}{100}=\frac{1200}{100}=12\to $ = کلاس سوم
ب) چند درصد از مجموع هنرجویان این سه کلاس در کار فوقبرنامه شرکت کردهاند؟
نفر $\Rightarrow 30+25+40=55+40=95$ تعداد کل
نفر $\Rightarrow 3+5+12=8+12=20$ تعداد شرکت کننده
$\frac{20}{95}=\frac{x}{100}\to x=\frac{20\times 100}{95}=21/05{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
پ) یکی از هنرجویان پاسخ سؤال «ب» را با جمع درصدهای هنرجویان شرکت کننده از این سه کلاس بهدست آورد. آیا راهحل او درست است؟
خیر
نفر $10+20+30=60{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{60}{100}=\frac{x}{95}\Rightarrow x=\frac{60\times 95}{100}=57$
ت) یکی از هنرجویان گفت: برای محاسبهٔ درصد شرکتکنندگان سه کلاس در کار فوقبرنامه، میتوانیم میانگین درصد شرکتکنندگان این سه کلاس را حساب کنیم. آیا نظر او درست است؟ چرا؟ توضیح دهید.
نفر $\frac{10+20+30}{3}=\frac{60}{3}=20{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{20}{100}=\frac{x}{95}\Rightarrow x=\frac{20\times 95}{100}=19$
فعالیت بالا نشان میدهد که درصدهای یک کمیت را که در موارد مختلف بهدست آمدهاند، جمع کردن یا پیدا کردن میانگین آنها معنای خاصی ندارند.
کار درکلاس 1 (صفحه 49 کتاب درسی)
1) برای خريد سه جفت جوراب هر جفت به قيمت 5,000 تومان، پس از % 20 تخفيف، چقدر بايد بپردازيم؟
مبلغ تخفیف$\frac{20}{100}=\frac{x}{5000}\Rightarrow x=\frac{20\times 50\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=1000$
مبلغ پرداختی برای هر جفت جوراب $5000-1000=4000$
کل مبلغ پرداختی $4000\times 3=12000$
مقدار درصد پرداختی توسط خریدار $100{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}-20{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=80{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
مبلغ پرداختی برای هر جوراب $\frac{80}{100}=\frac{x}{5000}\Rightarrow x=\frac{80\times 50\cancel{00}}{1\cancel{00}}=4000$
منبع کل $4000\times 3=12000$
2) برای خريد پيراهنی به قيمت 30,000 تومان با % 50 تخفيف و یک شلوار به قيمت 50,000 تومان با % 10 تخفيف، چقدر بايد بپردازيم؟
مبلغ تخفیف $\frac{50}{100}=\frac{x}{30000}\Rightarrow x=\frac{50\times 300\cancel{00}}{1\cancel{00}}=15000$ = پیراهن
مبلغ پرداختی برای پیراهن $30000-15000=15000$
مبلغ تخفیف شلوار $\frac{10}{100}=\frac{x}{50000}\Rightarrow x=\frac{10\times 500\cancel{00}}{1\cancel{00}}=5000$ = شلوار
مبلغ پرداختی برای شلوار $50000-5000=45000$
کل پرداختی $15000+45000=60000$
تعداد تخفیف کل $80000-60000=20000$
$\frac{20000}{80000}=\frac{x}{100}$
$x=\frac{{}^{1}\cancel{2}\cancel{00}\cancel{00}\times 100}{{}_{4}\cancel{8}\cancel{00}\cancel{00}}\Rightarrow x=25{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
در زندگی روزمره، در بسياری از مواقع ماشين حساب يا كاغذ و مداد به همراه نداريم و لازم است درصدها را خيلی سريع و بهصورت ذهنی محاسبه كنيم.
كار در كلاس زير به شما كمک میكند که در پيدا كردن درصد بهصورت ذهنی مهارت پيدا كنيد.
کار درکلاس 2 (صفحه 50 کتاب درسی)
20% از 30.000 تومان، 600 تومان است. محاسبههای زير را بهصورت ذهنی انجام دهيد و در هر مورد، روش محاسبهٔ خود را توضيح دهيد.
1) 4% از 30.000 تومان
$2\times 600=1200\Leftarrow 30000\,\,\,\,\,2\times 2{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\leftarrow 4{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
2) 10% از 30.000 تومان
$5\times 600=3000\Leftarrow 30000\,\,\,\,\,5\times 2{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\leftarrow 10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
3) 92% از 30.000 تومان
$\leftarrow 92{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ ابتدا $8{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ را محاسبه میکنیم.
$4\times 600=2400\Leftarrow 30000\leftarrow 4\times 2{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\,\,\,\,\,92{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=100{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}-8{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$92{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=100{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}-8{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
تومان $30000-2400=27600$
4) 50% از 30.000 تومان را به چند روش میتوانيد پيدا كنيد؟ روشهای خود را توضيح دهيد.
$\frac{30000}{2}=15000\leftarrow \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\leftarrow 50{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$25\times 600=15000\,\,\,\,\,\leftarrow 25\times 2{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
در بسياری از مواقع، اگر درصدی از یک مقدار را بدانید، میتوانید درصدهای ديگری از همان مقدار را بهدست آورید. در برخی موارد ديگر، راه سادهتر این است كه درصد را به كسر تبديل كنيم. برای مثال، پيدا كردن یکچهارمِ 124 (عدد 31 است) از پيدا كردن % 25 آن مقدار سادهتر است؛ كافی است آن را بر 4 تقسيم كنيم. در برخی مواقع نيز میتوانیم به كمک كسر، درصدی از یک مقدار را بهطور تقريبی بيان کنیم؛ برای مثال، بهجای پيدا كردن $33\frac{1}{2}$ درصد از 369، بهتر است $\frac{1}{3}$ آن را (که عدد 123 است) بهدست آوریم؛ زیرا %$33\frac{1}{2}$ تقریباً $\frac{1}{3}$ است.
کار درکلاس 3 (صفحه 50 کتاب درسی)
1) 33 درصد 30.000 تومان را به چند طريق میتوانيد پيدا كنيد؟ روشهای خود را توضيح دهيد.
روش اول: 33 درصد را بهطور تقریبی، کسر $\frac{1}{3}$ در نظر گرفته و آن را میکنیم:
$30000\times \frac{1}{3}=10000$
روش دوم: به جای 33 درصد از کسر $\frac{3}{10}$ استفاده میکنیم: $0/33\simeq 0/3$
$30000\times \frac{3}{10}=9000$
روش سوم: آن را در $\frac{33}{100}$ ضرب میکنیم: $0/33=\frac{33}{100}$
$30000\times \frac{33}{100}=9900$
روش چهارم: 1 درصد از 30000 را پیدا کرده و حاصل را در 33 ضرب کنیم: $3{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=33\times 1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$\frac{30000}{100}=300\Rightarrow 300\times 33=9900$
2) اگر بخواهید %$12\frac{1}{2}$ عدد 160 را بهطور ذهنی بهدست آوريد، چگونه عمل میكنيد؟
روش اول: 12/5 درصد نصف 25 درصد که $\frac{1}{4}$ میباشد. ابتدا $\frac{1}{4}$ را پیدا کرده و سپس بر 2 تقسیم میکنیم: یعنی:
$160\div 4=40\Rightarrow 40\div 2=20$
روش دوم: 12/5 درصد همان $\frac{1}{8}$ میباشد. کافی است 160 را بر 8 تقسیم میکنیم:
$160\div 8=20$
مسئلهها (صفحه 51 تا 53 کتاب درسی)
1) یک دروازهبان در بازی اول خود 9 توپ از 10 توپی را كه به طرف دروازه زده شده بود، مهار کرد. اين دروازهبان در بازی دوم خود 5 توپ از 8 توپ و در بازی سوم خود 6 توپ از 7 توپ فرستاده شده بهطرف دروازه را مهار كرد.
الف- در هر بازی، این دروازهبان چند درصد از توپها را مهار کرده است؟
$\Rightarrow \frac{9}{10}=\frac{{{x}_{1}}}{100}\Rightarrow {{x}_{1}}=\frac{9\times 10\cancel{0}}{1\cancel{0}}=90\to {{x}_{1}}{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=90{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ بازی اول
$\Rightarrow \frac{5}{8}=\frac{{{x}_{2}}}{100}\Rightarrow {{x}_{2}}=\frac{5\times 100}{8}=62/5\to {{x}_{2}}{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=62/5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ بازی دوم
$\Rightarrow \frac{6}{7}=\frac{{{x}_{3}}}{100}\Rightarrow {{x}_{3}}=\frac{6\times 100}{7}=85/71\to {{x}_{3}}{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=85/71{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ بازی سوم
ب- او در این سه بازی روی هم چند درصد از توپها را مهار کرده است؟
مهار $9+5+6=20$
کل توپ $10+8+7=25$
$\frac{20}{25}=\frac{{{x}_{t}}}{100}$
${{x}_{t}}=\frac{20\times {{\cancel{100}}^{4}}}{{{\cancel{25}}_{1}}}=80$
${{x}_{t}}{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=80{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
پ- آیا جمع درصد توپهای مهار شده در این سه بازی معنای خاصی دارد؟ خیر
2) تعداد پاسخهای درست محمد به سؤالهای سه آزمون، در جدول زیر آورده شده است:
الف- جدول را کامل کنید.
$1\to \frac{7}{9}=\frac{x}{100}\Rightarrow x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{7\times 100}{9}=77/77{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$3\to \frac{7}{10}=\frac{x}{100}\Rightarrow x=\frac{7\times {{\cancel{100}}^{10}}}{{}_{1}\cancel{10}}=70\to x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=70{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
| شمارهٔ آزمون | تعداد سؤالهای آزمون | تعداد پاسخهای درست | درصد پاسخهای درست |
| 1 | 9 | 7 | 77/77% |
| 2 | 6 | 6 | 100% |
| 3 | 10 | 7 | 70% |
ب- درصد کل پاسخهای درست در سه آزمون را پیدا کنید.
$=9+6+10=25$ کل سؤالات
$=7+6+7=20$ تعداد پاسخ درست
$\frac{20}{25}=\frac{x}{100}\Rightarrow x=\frac{20\times {{\cancel{100}}^{4}}}{{}_{1}\cancel{25}}\to x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=80{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
3) با توجه به اینکه % 35 عدد 2200 برابر 770 است، محاسبات زیر را بهصورت ذهنی انجام دهید:
الف- 7 درصد 2200
7 درصد، یک پنجم 35 درصد است یعنی: $770\div 5=154$
ب- 70 درصد 2200
70 درصد، دو برابر 35 درصد است پس: $770\times 2=1540$
پ- 5 درصد 2200
5 درصد، یک هفتم 35 درصد است یعنی: $770\div 7=110$
ت- 3/5 درصد 2200
3/5 درصد، یک دهمِ 35 درصد است یعنی: $770\div 10=77$
ث) 14 درصد 2200
14 درصد، دو برابرِ 7 درصد است یعنی: $154\times 2=308$
ج) 21 درصد 2200
21 درصدِ، سه برابرِ 7 درصد است یعنی: $154\times 3=462$
4) هر عدد در ستون اول جدول زیر با توصیفی در ستون دوم بیان شده است. هر عدد را به توصیف آن ارتباط دهید و برای هر یک، مثالی بياوريد.
| درصد | حل | توصیف | مثال |
| 25% | $\frac{1}{4}\times 100=25{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ | من نصفِ نصف هستم. | احتمال اینکه از یک کیسه حاوی 3 مهره آبی، یک مهره قرمز، مهره قرمز بیرون بیاید. |
| 50% | $1\times 100=100{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ | من با یک برابرم. | احتمال خارج شدن عدد 2 در یک کیسه حاوی 10 شماره 2 |
| 30% |
$\frac{1\cancel{0}}{10\cancel{0}}=\frac{1}{10}\times 100=10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ |
من از یک چهارم کمتر، ولی از یک صدم بیشتر هستم. | از یک کلاس 100 نفره 10 نفر در خرداد ماه قبول نشدند. |
| 1% | $\frac{1}{2}\times 100=50{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ | من با $\frac{1}{2}$ برابرم. | شانس رو یا پشت آمدن در پرتاب یک سکه |
| 10% | $\frac{1}{4} | من از نصف كمتر و از یکچهارم بيشترم. | از یک مدرسه 100 نفره 30 نفر دارای وزن بیشتر از 70 کیلوگرم دارند. |
| 100% | $x<\frac{1}{100}\Rightarrow x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}<1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ | من از $\frac{1}{100}$ کمترم. | از هر 200 نفر دانشآموز هم یک نفر به هنرستان را پیدا میکند. |
| 300% | $\frac{1}{10}\times \frac{1}{10}=\frac{1}{100}\times 100=1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ | من یکدهمِ یکدهم هستم. | از هر 100 نفر در کنکور یک نفر پزشکی قبول شود. |
| %$\frac{1}{2}$ | من از یک بیشترم. | بانکی به ازای 10000 تومان 30000 تومان سود میدهد. |
5) سعید گفت اگر به عددی 10 تا اضافه كنم و سپس، 10 تا از حاصل كم كنم، همان عدد قبلی بهدست میآيد. حالا اگر %10 عددی را به آن اضافه كنم و سپس %10 حاصل را از آن (حاصل) كم كنم، آیا همان عدد اول به دست میآید؟ با یک مثال عددی، پاسخ سؤال سعید را بهدست آورید.
عدد 100 را در نظر میگیریم.
10 درصد آن (100) عدد 10 میشود.
$10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\times 100=\frac{10}{100}\times 100=10$
عدد 10 را به عدد 100 اضافه کنیم: حاصل 110 خواهد شد.
10 درصد عدد 110 عدد 11 میشود.
$\frac{10}{100}=\frac{x}{110}\Rightarrow x=\frac{1\cancel{0}\times 11\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=11$
عدد 11 را از عدد 110 کم کنیم، حاصل 99 خواهد بود.
6) درصدی بنويسيد كه کسر معادل آن از $\frac{1}{2}$ بیشتر و از $\frac{3}{4}$ کمتر باشد.
7) مسعود گفت: من میتوانم مسئلههای مربوط به درصد را بهصورت ذهنی و خيلی سريع حساب كنم.
سعید پرسید: مثلاً سريع بگو 90 درصد 55 چقدر میشود؟ او به سرعت گفت: $55-5/5=49/5$.
با توجه به اینکه 90 درصد به اندازهٔ 10 درصد با 100 درصد فاصله دارد ابتدا 10 درصد 55 را حساب کرده که 5/5 است و حاصل را از 55 (که 100 درصد مقدار است) کم کرده است.
سعید پرسید: 6 درصد 1.400 چقدر میشود؟ مسعود گفت: $6\times 14=84$.
6 درصد همان 6 برابر ٪1 است که کافی است ٪1 از 1400 یعنی 14 را در 6 ضرب کنیم.
$\frac{1}{100}\times 1400=14\to 6{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=6\times 1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\Rightarrow 84=6\times 14$
سعید پرسید: % 25 عدد 44 چقدر میشود؟ مسعود گفت: $44\div 4=11$.
25 درصد هر عددی $\frac{1}{4}$ آن است یعنی باید عدد بر 4 تقسیم شود.
$25{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$
سعید گفت: % 25 درصدِ حقوق من 120.000 تومان است. حقوق من چقدر است؟ او به سرعت جواب داد: 480.000 تومان.
25 درصد هر عددی $\frac{1}{4}$ آن است بنابراین خود عدد، 4 برابر % 25 عدد است. پس باید در 4 ضرب شود تا کل حقوق بهدست آید.
در هر حالت، روش محاسبهٔ مسعود را توضيح دهيد.
8) الف- 49/5، چند درصد 33 است؟
ب- چند درصد از 90، برابر با 80 است؟
9) نرگس از فروشگاه (الف) و ناهید از فروشگاه (ب) دو کیف كاملاً یکسان خريدند. قيمت اوليهٔ كيف در هر دو فروشگاه برابر بود. در زير، تبليغ فروش دو فروشگاه را میبينيد.
فروشگاه (الف)
همهٔ اجناس فروشگاه با 35 درصد تخفيف به فروش میرسد
فروشگاه (ب)
25 درصد تخفيف + 10 درصد تخفيف هديه به مناسبت بازگشايی مدارس
كدام یک مبلغ بيشتری پرداخته است؟ نرگس یا ناهید؟
2-2- درصدهای بیشتر از 100 و کمتر از 1
قرار بود برای روزنامهٔ ديواری مدرسه خبرهايی در زمينهٔ رشد فناوری در سالهای گذشته جمعآوری كنم. در حال جستوجو در سايتهای مختلف بودم كه ناگهان خبر زیر نظرم را جلب كرد. ولی هر چه سعی كردم آن را تفسير كنم، نتوانستم.
دستاورد % 125؟ درصدهايی كه تاكنون با آنها كار كرده بودم، کمتر از % 100 بودند. هميشه فکر میکردم که درصدی از یک كل بايد از 1، يعنی % 100، كمتر باشد. پس، درصدی كه مقدار آن بيشتر از % 100 باشد، كه از یک كل بيشتر میشود! چه معنايی دارد؟ برای اینكه از درستی خبری كه پيدا كرده بودم مطمئن شوم، اين سؤالها را با مسئول تهيهٔ خبرنامهٔ مدرسه در ميان گذاشتم. او گفت: رشتهٔ من رياضی نيست ولی با اطلاعاتی كه دربارهٔ درصد دارم، برايت توضيح میدهم.
آیا تا به حال شنيدهای که قيمت تمام شدهٔ یک جفت كفش در كارخانه 30.000 تومان است ولی اين کفش در فروشگاهی 90.000 تومان فروخته میشود؟
گفتم: بله.
گفت: میتوانی توضيح بدهی يعنی چه؟
گفتم: بله، يعنی قيمت كفش در فروشگاه سه برابر قيمت تمام شدهٔ آن در كارخانه است.
گفت: فكر میکنم در درس رياضی، اگر بخواهید نسبت قيمت كفش در فروشگاه را به قيمت كفش در كارخانه بنويسيد، چنين مینويسید: 90.000 به 30.000 یا 3 به 1. یعنی، قیمت کفش در فروشگاه سه برابر قيمت تمام شدهٔ كفش در كارخانه است؛ درست است؟
گفتم: بله.
گفت: اگر بخواهيد اين نسبت را با درصد نمايش بدهيد، آن را چگونه مینویسيد؟
گفتم: %$\frac{3}{1}\times 100=300$
گفت: اميدوارم از جوابی كه داديد، متوجه موضوع شده باشيد. از درصد هميشه برای بيان جزئی از یک كل استفاده نمیشود؛ بلكه از آن برای مقايسهٔ مقادیر یک كميت در زمانها يا شرايط مختلف نيز استفاده میکنند. در اين وضعيت است كه درصد میتواند مقداری بيشتر از % 100 را نيز نشان دهد.
پرسيدم: با اين حساب، آیا درصد كمتر از % 1 هم داریم؟
گفت: البته! در اين وضعيت، درصد هم میتواند مفهوم جزئی از كل را داشته باشد و هم مقايسه را نشان میدهد.
کار درکلاس 4 (صفحه 56 کتاب درسی)
1) 0/2% از 3 میلیون نفر، چند نفر میشود؟
$\frac{0/2}{100}=\frac{x}{3}\Rightarrow x=\frac{0/2\times 3}{100}=\frac{0/6}{100}\to $
میلیون نفر $x=\frac{\frac{6}{10}}{\frac{100}{1}}=\frac{6}{1000}=0/006$
نفر $x=0/006\times 1,000,000=6000$
2) 5 نفر از 4.000 نفر چند درصد این افرادند؟
$\frac{x}{100}=\frac{5}{4000}$
$x=\frac{{}^{1}\cancel{5}\times 1\cancel{0}\cancel{0}}{{}_{8}\cancel{40}\cancel{0}\cancel{0}}=\frac{1}{8}\to x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{1}{8}{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=0/125{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
3) 140% از 400 لیتر آب، چند لیتر آب است؟
لیتر $\frac{140}{100}=\frac{x}{400}\Rightarrow x=\frac{140\times 4\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=560$
4) وزن مریم در هنگام تولد 3 کیلوگرم بوده و در ده سالگی 21 کیلوگرم است. وزن او در ده سالگی چند درصد وزن نوزادیاش است؟
$\frac{21}{3}=7\to 700{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$\frac{700}{100}=\frac{x}{3}$
$x=\frac{7\cancel{0}\cancel{0}\times 3}{1\cancel{0}\cancel{0}}=21$
5) مثالی بيان كنيد كه مقدار نهایی، 124 درصد مقدار اولیه باشد. آن را تفسیر کنید.
$124{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{124}{100}=1/24$
$24/8\leftarrow 20\times 1/24\leftarrow 20$
$6/2\leftarrow 5\times 1/24\leftarrow 5$
جمعیت یک کشور 5 میلیون و جمعیت کشوری دیگر 6 میلیون و دویست هزار نفر است. جمعیت کشور دوم چند درصد جمعیت کشور اول است؟
$\frac{6/2}{5}=1/24\xrightarrow{\times 100}1/24\times 100=124{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
6) مثالی بيان كنيد كه مقدار نهایی، %0/8 مقدار اولیه باشد و آن را تفسیر کنید.
$0/8{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{0/8}{100}=\frac{\frac{8}{10}}{100}=0/008$
$0/8\leftarrow 10\times 0/008\leftarrow 10$
مقدار پول اولیه شخصی 10 میلیون تومان بوده است. اگر این شخص پس از خرج نمودن آن پول مقدار 80000 تومان بر آن باقی مانده باشد، مقدار پول نهایی چند درصد از پول اولیه آن میباشد؟
$\frac{80,000}{10,000,000}=\frac{x}{100}\Rightarrow x{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{8\cancel{0},\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}\times 1\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0},\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0},\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}}=0/8{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
برای محاسبهٔ درصدی از یک مقدار، میتوانیم درصد را بهصورت كسر بنویسیم و كسری از یک مقدار را پیدا کنیم. همچنین همانطور كه مشاهده کردید، میتوانیم بهصورت ذهنی و با روشهايی مانند روش بالا آن را يافت. یکی از روشهايی كه به كمک آن میتوانیم مسئلههای مرتبط با درصد را حل کنیم، نمايش مسئلهٔ درصد با معادله است.
فعاليت 2 (صفحه 57 کتاب درسی)
1) یک تساوی با عبارت ضربی بنويسيد كه به كمک آن بتوان $\frac{2}{3}$ از 24 را پیدا کرد.
$\frac{2}{3}\times 24=x\Rightarrow x=\frac{2\times {{\cancel{24}}^{8}}}{{{\cancel{3}}_{1}}}=16$
2) با توجه به اينكه درصد را میتوانیم با یک عدد كسری نمايش دهیم، یک تساوی با عبارت ضربی بنويسيد كه به كمک آن بتوان % 30 از 36 را پيدا كرد.
$\frac{3\cancel{0}}{10\cancel{0}}=0/3$
0/3 عدد 36 چند میشود؟
$0/3\times 36=x\Rightarrow x=10/8$
$\frac{30}{100}=\frac{x}{36}\Rightarrow x=\frac{3\cancel{0}\times 36}{10\cancel{0}}=\frac{108}{10}=10/8$
3) یک تساوی با عبارت ضربی در حالت كلي بنويسيد كه به كمک آن بتوان درصدی از یک مقدار را پيدا كرد. در اين معادله، مقدار اوليه را با $X$، درصد را با $a$ و مقدار نهایی را با $Y$ نشان دهید.
$a{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\times x=y$
$20{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\times x=y$
4) سه مسئله را طوری طرح كنيد که در یکی $Y$، و در یکی $a$ و در یکی $X$ مجهول باشد.
$\frac{a}{100}=\frac{Y}{X}$
مسئله 1 در یک فروشگاه کفش کالاها با ٪20 تخفیف عرضه میشود. اگر قیمت اولیهٔ یک کفش 60000 تومان باشد. خریدار چقدر تخفیف میگیرد؟
$\frac{20}{100}=0/2$
$60,000-12,000=48,000\leftarrow 0/2\times 60,000=12,000$
مسئله 2 در همان فروشگاه قیمت کفشی 3000 تومان کاهش یافته است. قیمت اولیهٔ کفش چقدر بوده است؟
$7,000\leftarrow 3,000\leftarrow 10,000$
$0/2\times x=3,000\Rightarrow x=\frac{3,000}{2{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}}=\frac{30,000}{2}=15,000$
مسئله 3 جمعیت یک کشور برابر 12 میلیون نفر بوده است. اگر پس از چند سال جمعیت این کشور 14 میلیون و 400 هزار نفر باشد، نسبت جمعیت سال دوم به جمعیت در سال اول چند درصد است؟
$a\times x=Y\Rightarrow a\times 12,000,000=14,400,000$
$a=\frac{14,4\cancel{0}\cancel{0},\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}}{12,0\cancel{0}\cancel{0},\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}}=\frac{144}{120}=1/2\to a{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=120{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
فعاليت بالا نشان میدهد كه مسئلههای مرتبط با درصد را همواره میتوان به كمک معادله حل كرد. برای اين كار مهمترين مرحله، تشخيص مجهول است.
کار درکلاس 5 (صفحه 58 کتاب درسی)
علی در یک تعميرگاه لوازم خانگی كار میكند. به ازای هر دستگاهی كه تعمير میشود، % 70 هزينهٔ تعمير را علی و بقيه را صاحب تعميرگاه دريافت میكند.
الف- معادلهای بنويسيد كه رابطهٔ بين هزينههای دريافتی و پولی را كه علی دريافت میكند نشان دهد.
$\frac{70}{100}=\frac{y}{x}\Rightarrow y=\frac{70}{100}x$
کل دریافتی $\leftarrow y=\frac{7}{10}x\to $ دستمزد علی
ب- اگر علی در اين ماه 750.000 تومان دريافت كرده باشد، صاحب فروشگاه چقدر دريافت كرده است؟
$y=750,000$
$y=\frac{7}{10}x\Rightarrow 10y=7x\Rightarrow x=\frac{10}{7}y$
$x=\frac{10}{7}\times 750,000=\frac{7,500,000}{7}\simeq 1,071,428$
$=1,071,428-750,000=321,428$ سهم تعمیرگاه
مسئلهها (صفحه 59 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
$375/5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\Rightarrow \frac{37/5}{100}=\frac{\frac{375}{10}}{\frac{100}{1}}=\frac{375}{1000}=\frac{3}{8}$
$\frac{375}{1000}\to 0/375$
$\frac{110}{100}\xrightarrow{\times 100}\frac{110}{1\cancel{0}\cancel{0}}\times 1\cancel{0}\cancel{0}=110{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$\frac{110}{100}\to \frac{11\cancel{0}}{10\cancel{0}}=\frac{11}{10}=1/1$
$1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{1}{100}\to 0/01$
$0/005\times 100=\frac{5}{10\cancel{0}\cancel{0}}\times 1\cancel{0}\cancel{0}=0/5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
$0/005\to \frac{5}{1000}=\frac{1}{200}$
$\frac{1}{8}\times 100=\frac{100}{8}=12/5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{1}{8}=0/125$
$0/4{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\to \frac{0/4}{100}=\frac{\frac{4}{10}}{\frac{100}{1}}=\frac{4}{1000}=0/004$
$\frac{4}{1000}\to \frac{1}{250}$
| درصد | به صورت کسر | بهصورت اعشاری |
| 37/5% | $\frac{3}{8}$ | 0/375 |
| 110% | $\frac{110}{100}$ | 1/1 |
| 1% | $\frac{1}{100}$ | 0/01 |
| 0/5% | $\frac{1}{200}$ | 0/005 |
| 12/5% | $\frac{1}{8}$ | 0/125 |
| %$\frac{2}{5}$ | $\frac{1}{250}$ | 0/004 |
2) 0/7 یک مقدار بيشتر است يا %0/7 همان مقدار؟ چرا؟
$0/7\times 100=\frac{7}{1\cancel{0}}\times 10\cancel{0}=70$
$0/7{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{0/7}{100}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{100}{1}}=\frac{7}{1000}=0/007$
$0/007\times 100=\frac{7}{10\cancel{0}\cancel{0}}\times 1\cancel{0}\cancel{0}=0/7$
3) یک نوع کالا در فروشگاههای الف و ب با تخفیف ارائه شده است:
در فروشگاه الف قیمت پس از تخفیف 150.000 ریال و در فروشگاه ب قیمت قبل از تخفیف 200.000 ریال میباشد. اگر درصد تخفیف فروشگاه الف برابر %20 و فروشگاه ب برابر %25 باشد:
الف- قبل از تخفیف، خرید از کدام فروشگاه باصرفهتر است؟
تخفیف ٪20 $\to $ الف
تخفیف ٪25 $\to $ ب
1000 تومان $\leftarrow $ ٪20 $\leftarrow $ مبلغ جدید پس از تخفیف
$\frac{20}{100}=\frac{x}{1000}\Rightarrow x=\frac{20\times 10\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=200$
مبلغ پس از تخفیف $1000-200=800$
$\frac{80}{100}=\frac{800}{x}\to 1000$
$\frac{20}{100}\to \frac{80}{100}=\frac{150,000}{x}$
قبل از تخفیف $x=\frac{100\times 15,000}{80}=187,500$
ب- بعد از تخفیف، خرید از کدام فروشگاه باصرفهتر است؟
مبلغ تخفیفی که فروشگاه ب داده است. $\frac{25}{100}=\frac{x}{200,000}\Rightarrow x=\frac{25\times 200,000}{100}=50,000$
ریال $200,000-50,000=150,000$ مبلغ دریافتی از فروشگاه ب بعد از تخفیف
3-2- درصد تغییر
آیا تاكنون به اين مسئله فكر كردهايد كه در بازار سهام، چگونه تصميمگيری میکنند؟ افرادی كه در اين حوزه فعاليت دارند، بايد بتوانند درصد تغيير قيمت سهام مختلف را با هم مقايسه كنند. در بسياری از گزارشهای دولتی، تغييرات در سالهای مختلف را با درصد تغيير بيان میکنند. فعاليت 3 در درک این مفهوم به شما كمک میکند.
فعاليت 3 (صفحه 61 کتاب درسی)
قيمت كالايی در سال گذشته $x$ تومان بود. امسال این کالا با %15 افزايش قيمت به فروش میرسد. مقدار افزايش قيمت كالا را برحسب $x$ بنویسید.
$15{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ $=$ $x$ $\times $ $15{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ $=$ مقدار افزایش قیمت کالا
اگر قيمت جديد كالا را با $y$ نشان دهيم، معادلهای برحسب $x$ بنويسيد كه بتوانید به كمک آن قيمت جدید کالا را حساب کنید.
$=y$ $15{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}x$ $+$ $1x$
$x(1+15{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }})=y\to y=1/15x$
به كمک معادلهٔ بالا، درصد افزايش قيمت را برحسب $x$ و $y$ بنویسید.
$15{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ یا $=0/15$ $\frac{y-x}{x}$
$\Rightarrow \frac{1150-1000}{100}=\frac{15\cancel{0}}{100\cancel{0}}=0/15$
اگر قیمت %$a$ باشد، درصد تغيير قيمت را برحسب قيمت اوليه و قيمت جديد بنويسيد.
تعریف
نسبت تغییر و حاصل ( 100 $\times $ نسبت تغییر) را درصد تغيير آن کمّیت مینامند.
مثال 9
ابعاد یک زمين بازی 10متر $\times $ 20 است. شهرداری تصميم دارد اين زمين را از هر طرف، 2 متر گسترش دهد. مساحت زمين چند درصد افزايش خواهد یافت؟
$10\times 20=200$: مساحت اولیهٔ زمین (مترمربع)
$14\times 24=336$: مساحت جدید زمین (مترمربع)
$\frac{336-200}{200}=0/68$: درصد تغییر مساحت بنابراین ، مساحت زمین % 68 افزایش دارد.
کار درکلاس 6 (صفحه 63 کتاب درسی)
1) ابعاد يک پارک به طول $x$ و عرض $y$ را %10 افزايش دادهاند. درصد تغيير مساحت اين پارک را محاسبه کنید.
$10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{10}{100}=0/1$
$\Rightarrow {{S}_{1}}={{x}_{1}}{{y}_{1}}$ مساحت اولیه
${{x}_{2}}={{x}_{1}}+10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}{{x}_{1}}=1{{x}_{1}}+0/1{{x}_{1}}=1/1{{x}_{1}}$
${{y}_{2}}={{y}_{1}}+10{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}{{y}_{1}}={{y}_{1}}+0/1{{y}_{1}}=1/1{{y}_{1}}$
$={{x}_{2}}\times {{y}_{2}}=1/1{{x}_{1}}\times 1/1{{y}_{1}}=1/21{{x}_{1}}{{y}_{1}}$ مساحت ثانویه (نهایی)
$\frac{1/21{{x}_{1}}{{y}_{1}}-{{x}_{1}}{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}{{y}_{1}}}\times 100=\frac{\cancel{{{x}_{1}}{{y}_{1}}}(1/21-1)}{\cancel{{{x}_{1}}{{y}_{1}}}}\times 100$
$=0/21\times 100=21{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ درصد تغییر مساحت
2) قیمت بلیت يک موزه در ابتدای سال %20 افزايش داشته و پس از سه ماه، دوباره %10 افزایش يافته است. قیمت بلیت این موزه در سال گذشته 1.000 تومان بوده است.
الف- قیمت بلیت این موزه اكنون چقدر است؟
افزایش بلیت در ابتدای سال $\frac{20}{100}=\frac{x}{1000}\Rightarrow x=\frac{20\times 1,0\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=200$
$=1000+200=1200$ قیمت بلیت در ابتدای سال
افزایش بلیت $\frac{10}{100}=\frac{x}{1200}\Rightarrow x=\frac{10\times 12\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}}=120$
$=1200+120=1320$ قیمت بلیت پس از 3 ماه
ب- درصد تغيير قيمت بلیت این موزه نسبت به سال قبل چقدر است؟ (توجه: %30 نیست!)
$=\frac{1320-1000}{1000}\times 100=\frac{32\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}}{1\cancel{0}\cancel{0}\cancel{0}}=32{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ درصد تغییر
مسئلهها (صفحه 64 کتاب درسی)
1) در هر پرانتز عبارت درست را مشخص کنید:
الف- اگر قیمت جدید یک کالا نسبت به قیمت اولیه افزایش داشته باشد درصد تغییر (مثبت/ منفی) و اگر کاهش داشته باشد درصد تغییر (مثبت/ منفی) میباشد.
ب- اگر قیمت کالای 5.500 تومان باشد و قیمت آن به 7.000 تومان رسیده باشد، درصد افزایش قیمت (بزرگتر از 100؛ بین 1 و 100؛ کوچکتر از 1) و اگر قیمت آن به 12.000 تومان رسیده باشد درصد افزایش قیمت (بزرگتر از 100؛ کوچکتر از 100) میباشد.
2) اگر قیمت اولیهٔ یک کالا با $x$ و قیمت جدید آن با $y$ مشخص شده باشد، معادله $y=\frac{1}{2}x$ رابطهٔ بین قیمت اولیه و قیمت جدید این کالا را نشان میدهد.
الف- درصد تغییر را بهدست آورید.
$x\to \frac{1}{2}x$
%$100=\frac{\frac{1}{2}x-x}{x}\times 100=-50$
ب- کالایی که در سال گذشته 100 هزار تومان بوده است، امسال چند تومان است؟
$100\to 50$
پ- کالایی که امسال 100 هزار تومان است، در سال گذشته چند تومان بوده است؟
$200\leftarrow 100$
3) قیمت 4 نوع کالای الف و ب و پ و ت در سال جاری نسبت به سال گذشته طبق جدول زیر تغییر داشته است:
الف- جدول را تکمیل کنید.
ب- این چهار کالا را در یک سبد به نام سبد کالا در نظر بگیرید. درصد تغییر قیمت این سبد کالا چقدر است؟
| نوع کالا | قیمت سال گذشته | قیمت امسال | درصد تغییر |
| الف | 100.000 | 115.000 | 15% |
| ب | 125.000 | 150.000 | 20% |
| پ | 150.000 | 165.000 | 10% |
| ت | 200.000 | 180.000 | 10%- |
%$\frac{115,000-100,000}{100,000}\times 100=15$
$20{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=\frac{150,000-x}{x}$
$0/2x=150,000-x$
$1/2x=150,000\Rightarrow x=125,000$
$\frac{610,000-575,000}{575,000}\times 100={\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$
4) طول هر ضلع یک مکعب بر اثر گرما 0/1 واحد افزایش یافته است. اگر طول ضلع اولیهٔ این مکعب 1 واحد باشد، درصد تغییر حجم مکعب را حساب کنید.
$1+8=1/1$
$1\times 1\times 1=1$
$1/1\times 1/1\times 1/1=1/331$
$=\frac{1/331-1}{1}\times 100=33/1{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$ درصد تغییر